El lenguaje de la Teoría de Conjuntos
A continuación presentamos el lenguaje de primer orden L∈ en el que escribiremos la Teoría de Conjuntos. Puede entenderse de dos maneras distintas:
como lenguaje formal y como abreviaturas de expresiones en español. Esta segunda interpretación será posiblemente la conveniente en un curso introductorio,
antes de conocer la lógica de primer orden.
Los símbolos del lenguaje formal de la teoría de conjuntos serán:
Los símbolos de conjuntos serán las letras del alfabeto, mayúsculas y
minúsculas.
El símbolo de la relación de pertenencia entre conjuntos es ∈ .
Los símbolos lógicos de la lógica de predicados: ¬ (negación), ∧ (conjunción), ∨
(disyunción), → (implicación), ↔ (equivalencia), ∀ (cuantificador universal) y ∃ (cuantificador existencial) y (, ) (paréntesis).
Con estos signos básicos se generan todas las fórmulas de la teoría de conjuntos. Las reglas de formación de fórmulas son las habituales en la lógica de
primer orden.
A saber:
1. x ∈ y y x = y son fórmulas. Para cualesquiera variables x, y.
2. Si ϕ y ψ son fórmulas, también lo son: ¬ϕ, ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ, ϕ → ψ y ϕ ↔ ψ
3. Si ϕ es una fórmula, ∀xϕ y ∃xϕ tambien lo son.
Igualdad, inclusión y conjunto vacío
Definiciones:
A ¬∈ B es la abreviación de no pertenencia ¬(A ∈ B)
Igualdad (Axioma de extensionalidad). ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B
“Si todo elemento lo es de A si y sólo si lo es también de B entonces A y
B coinciden”.
Inclusión, subconjunto: A ⊆ B ”A está incluido en B” (A es subconjunto
de B), es una abreviatura de ∀x(x ∈ A → x ∈ B)) (todo elemento de A
es elemento de B).
Inclusión estricta: A ⊂ B es una abreviatura de (A ⊆ B) ∧ (A ¬= B).
Conjunto vacío: ∅ es el único conjunto tal que ∀x(x ¬∈ ∅) ”para todo x,
x no pertenece a ∅” (ningún elemento pertenece a ∅)’
Teoremas: Los resultados siguientes son teoremas que se deducen de manera
directa de las definiciones anteriores
1. ∀A( ∅ ⊆ A)
2. ∀A (A ⊆ A)
3. ∀AB ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) → (A = B))
4. ∀ABC ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) → (A ⊆ C))
Operaciones
Definiciones
Unión. A ∪ B = {x/ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B))} A unión B está formado por
los elementos que están en A o en B. Se verifica: ∀x(x ∈ A ∪ B ↔ (x ∈
A) ∨ (x ∈ B))
Intersección A ∩ B = {x/ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} A intersección B está
formado por los elementos que están en A y también en B. Se verifica:
∀x(x ∈ A ∩ B ↔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B))
Diferencia A−B = {x/ (x ∈ A) ∧ (x ¬∈ B)} A menos B está formado por
los elementos que están en A pero no en B. Se verifica: ∀x(x ∈ A − B ↔
(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B))2.3. OPERACIONES 11
Teoremas
1. ∀AB (A ⊆ A ∪ B)
2. ∀AB (A ∩ B ⊆ A)
3. ∀AB ((A ⊆ B) ↔ (A ∪ B = B))
4. ∀AB ((A ⊆ B) ↔ (A ∩ B = A))
5. ∀A (A ∪ A = A). Idempotencia.
6. ∀A (A ∩ A = A). Idempotencia.
7. ∀AB (A ∩ (A ∪ B) = A). Absorción.
8. ∀AB (A ∪ (A ∩ B) = A). Absorción.
9. ∀AB (A ∪ B = B ∪ A). Commutatividad.
10. ∀AB (A ∩ B = B ∩ A). Commutatividad.
11. ¬∀AB (A − B = B − A)
12. ∀A (∅ − A = ∅)
13. ∀A (A ∪ ∅ = A)
14. ∀A (A ∩ ∅ = ∅)
15. ∀ABC ((A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)). Asociatividad.
16. ∀ABC ((A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)). Asociatividad
